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2018年广西南宁中考压轴题倒二(圆与三角形相似)

福州张丽华 初中数学延伸课堂 2022-07-16


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(2018·南宁市)如图,△ABC内接于⊙O,∠CBG=∠ACD为直径,OCAB相交于点E,过点EEFBC,垂足为F,延长CDGB的延长线于点P,连接BD

(1) 求证:PG与⊙O 相切;

(2)若EF/AC=5/8,求BE/OC的值;

(3)在(2)的条件下,若⊙O 的半径为 8,PDOD,求OE的长.

【图文解析】

(1)如图所示,连接BO并延长交⊙O于点H,连接CH,则可得∠A=∠H=∠CBG,又因∠H+∠HBC=90°,则∠HBC+∠CBG=90°,即PG⊥半径OB,PG与⊙O相切。

(2)从条件出发,易想到从AC出发,通过构造与△BEF相似的直角三角形,利用比例关系来解题,因此连接AD,如下图示,则∠DAC=90°,且弧AC所对的圆周角∠ADC=∠ABC,则△ADC∽△FBE,EF/AC=BE/DC=5/8,因此BE/OC=5/4.


(3)由PD=DO,及PG为切线,自然会想到连接BO,如下图示,在Rt△POB中,易得∠POB=60°,在等腰△BOC中,∠OCB=30°,由BO=8,可得BC=8√3,又因BE/OC=5/4,则BE=10。

在△BEC中,设BC边上的高EF=x,则其余各线段长度如图所示,在Rt△BEF中,利用勾股定理,得BE2=BF2+EF2,即100=x2+(8√3-√3x)2,可求得x1=6+√13(舍去),x2=6-√13,则CE=2x=12-2√13,因此OE=OC-CE=2√13-4.


【反思】

1.抓住同弧所对的圆周角相等,找到相等的圆周角;

2.将复杂的图形分离出来,能够让我们更易理清解题思路,使得图中的边角关系更加清晰。

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